feat: 新增重积分章节（笔记+错题）

mistakes/math/07_重积分.md

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+## 错题记录
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+### 题目 01
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+当 $x \to 0^+$ 时，
+
+$$
+f(x) = \int_{0}^{x^2} dy \int_{y}^{\sqrt{y}} \sin \frac{y}{t} \, dt
+$$
+
+与
+
+$$
+g(x) = a x^b
+$$
+
+是等价无穷小量，则 $ab = \underline{\hspace{2cm}}$ 。
+
+### 错误原因
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+交换积分次序后，计算内层积分 $\displaystyle\int_{t^2}^{t} \sin \frac{y}{t} \, dy$ 时，原函数为 $\left[-t \cos \dfrac{y}{t}\right]$。代入上下限时**错误地把系数 $t$ 也随 $y$ 的上下限一并代入了值**（例如写成 $-t^2 \cos t$ 等），而正确的做法是：内层对 $y$ 积分时 $t$ 视为常数，系数 $t$ 不参与代入，只有 $\cos \frac{y}{t}$ 中的 $y$ 需要换成上下限。
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+### 正确答案
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+**Step 1：交换积分次序**
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+积分区域 $D = \{(y, t) : 0 \le y \le x^2,\; y \le t \le \sqrt{y}\}$。
+
+由 $y \le t \le \sqrt{y}$ 解得 $t^2 \le y \le t$，结合 $0 \le y \le x^2$，且 $t \in [0, x]$，分两段：
+
+$$
+f(x) = \int_{0}^{x^2} dt \int_{t^2}^{t} \sin \frac{y}{t} \, dy
+      + \int_{x^2}^{x} dt \int_{t^2}^{x^2} \sin \frac{y}{t} \, dy
+$$
+
+**Step 2：计算内层积分**
+
+$\displaystyle\int \sin \frac{y}{t} \, dy = -t \cos \frac{y}{t}$，代入上下限：
+
+$$
+\begin{aligned}
+\int_{t^2}^{t} \sin \frac{y}{t} \, dy &= -t \cos 1 + t \cos t = t(\cos t - \cos 1) \\[4pt]
+\int_{t^2}^{x^2} \sin \frac{y}{t} \, dy &= -t \cos \frac{x^2}{t} + t \cos t = t\!\left(\cos t - \cos \frac{x^2}{t}\right)
+\end{aligned}
+$$
+
+**Step 3：合并**
+
+$$
+\begin{aligned}
+f(x) &= \int_{0}^{x^2} t(\cos t - \cos 1) \, dt
+      + \int_{x^2}^{x} t\!\left(\cos t - \cos \frac{x^2}{t}\right) dt \\[4pt]
+     &= \int_{0}^{x} t \cos t \, dt - \frac{\cos 1}{2} x^4 - \int_{x^2}^{x} t \cos \frac{x^2}{t} \, dt
+\end{aligned}
+$$
+
+其中 $\displaystyle\int_{0}^{x} t \cos t \, dt = x \sin x + \cos x - 1$。
+
+对最后一项作代换 $u = \dfrac{x^2}{t}$（$t = \dfrac{x^2}{u},\; dt = -\dfrac{x^2}{u^2}du$）：
+
+$$
+\int_{x^2}^{x} t \cos \frac{x^2}{t} \, dt = x^4 \int_{x}^{1} \frac{\cos u}{u^3} \, du
+$$
+
+故
+
+$$
+\boxed{f(x) = x \sin x + \cos x - 1 - \frac{\cos 1}{2} x^4 - x^4 \int_{x}^{1} \frac{\cos u}{u^3} \, du}
+$$
+
+**Step 4：用等价无穷小比值法求 $a, b$（$x \to 0^+$）**
+
+先求 $f'(x)$：由变限积分求导，
+
+$$
+f'(x) = 2x \int_{x^2}^{x} \sin \frac{x^2}{t} \, dt
+\;\xrightarrow{u = \frac{x^2}{t}}\;
+2x^3 \int_{x}^{1} \frac{\sin u}{u^2} \, du
+$$
+
+由等价无穷小关系 $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \frac{f(x)}{a x^b} = 1$，即 $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \frac{f(x)}{x^b} = a$。
+
+使用洛必达法则：
+
+$$
+\lim_{x \to 0^+} \frac{f(x)}{x^b}
+= \lim_{x \to 0^+} \frac{f'(x)}{b x^{b-1}}
+= \frac{2}{b} \lim_{x \to 0^+} x^{4-b} \int_{x}^{1} \frac{\sin u}{u^2} \, du
+$$
+
+当 $u \to 0^+$ 时 $\dfrac{\sin u}{u^2} \sim \dfrac{1}{u}$，故
+
+$$
+\int_{x}^{1} \frac{\sin u}{u^2} \, du \sim \int_{x}^{1} \frac{1}{u} \, du = -\ln x \qquad (x \to 0^+)
+$$
+
+于是
+
+$$
+\lim_{x \to 0^+} \frac{f(x)}{x^b}
+= -\frac{2}{b} \lim_{x \to 0^+} x^{4-b} \ln x
+$$
+
+分析：
+- 若 $b < 4$，则 $x^{4-b} \ln x \to 0$，极限为 $0$
+- 若 $b > 4$，则 $x^{4-b} \to +\infty$，$x^{4-b} \ln x \to -\infty$，极限为 $+\infty$
+- 若 $b = 4$，则 $\ln x \to -\infty$，极限为 $+\infty$
+
+要使极限为非零有限值，由 $\ln x$ 的存在可知不存在这样的 $b$。
+
+$$
+\boxed{f(x) \sim -\frac{1}{2} x^4 \ln x \quad (x \to 0^+)}
+$$
+
+即 $f(x)$ 主导阶为 $x^4 \ln x$，不是纯幂函数 $a x^b$。
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+### 知识点
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+**二重积分：**
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+- **积分次序交换**：给定积分区域 $D = \{(y,t) \mid a \le y \le b,\; \varphi_1(y) \le t \le \varphi_2(y)\}$，交换次序需从不等式 $\varphi_1(y) \le t \le \varphi_2(y)$ 反解出 $y$ 关于 $t$ 的范围 $\psi_1(t) \le y \le \psi_2(t)$，并确定 $t$ 的新范围 $[c,d]$。本题从 $y \le t \le \sqrt{y}$ 反解得 $t^2 \le y \le t$。
+- **分段处理**：交换次序后若 $\min / \max$ 分段点落在积分区间内，需拆分为多个积分。本题 $\min(t, x^2)$ 在 $t = x^2$ 处切换，故分为 $[0, x^2]$ 和 $[x^2, x]$ 两段。
+- **内层积分时外层变量视为常数**：计算 $\int_{t^2}^{t} \sin \frac{y}{t} \, dy$ 时 $t$ 固定，原函数 $\left[-t \cos \frac{y}{t}\right]$ 中系数 $t$ **不参与代入上下限**（本题错误根源）。
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+**变限积分与等价无穷小：**
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+- **变限积分求导**：$F(x) = \int_{a(x)}^{b(x)} h(x, t) \, dt$，若被积函数含 $x$，应先换元分离再求导。本题交换次序后 $x$ 只出现在积分限，可直接用 Leibniz 公式。
+- **洛必达法则判定无穷小阶数**：$\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \frac{F(x)}{x^b} = \lim_{x \to 0^+} \frac{F'(x)}{b x^{b-1}}$，逐步降阶直到极限为非零有限值。
+- **$\ln x$ 型奇异性**：$\displaystyle\int_{x}^{1} \frac{\sin u}{u^2} du$ 在 $u \to 0^+$ 时 $\frac{\sin u}{u^2} \sim \frac{1}{u}$，积分 $\sim -\ln x$，导致最终结果含 $\ln x$ 因子，不存在纯幂函数等价无穷小。

subjects/math/07_重积分.md

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+## 笔记记录
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+### 要点 01 - 二重积分的积分次序交换
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+二重积分交换次序的核心步骤：
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+1. **画出积分区域**：根据原积分限写出不等式，在坐标系中标出区域 $D$
+2. **反解不等式**：将"先 $t$ 后 $y$"的不等式组改写为"先 $y$ 后 $t$"的形式
+3. **确定新限**：写出交换后的累次积分
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+**示例**：设原积分为 $\displaystyle\int_a^b dy \int_{\varphi_1(y)}^{\varphi_2(y)} f(y,t)\,dt$，交换后为 $\displaystyle\int_c^d dt \int_{\psi_1(t)}^{\psi_2(t)} f(y,t)\,dy$。
+
+---
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+### 要点 02 - 由不等式反解积分限
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+给定 $a \le y \le b,\; \varphi_1(y) \le t \le \varphi_2(y)$：
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+- 从 $\varphi_1(y) \le t \le \varphi_2(y)$ 解出 $y$ 的范围：$\psi_1(t) \le y \le \psi_2(t)$
+- $t$ 的范围为 $[c,d] = [\min \varphi_1(y), \max \varphi_2(y)]$（$y \in [a,b]$）
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+**常见反解关系**：
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+| 原关系 | 反解 |
+|--------|------|
+| $y \le t$ | $y \le t$ |
+| $t \le \sqrt{y}$ | $y \ge t^2$ |
+| $t \le y^2$ | $y \ge \sqrt{t}$ |
+| $t \ge y^2$ | $y \le \sqrt{t}$ |
+
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+### 要点 03 - 分段处理（$\min$/$\max$ 切换）
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+交换次序后，若上限/下限含 $\min$ 或 $\max$，需在切换点处拆分为多段积分。
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+设 $y \in [t^2, \min(t, x^2)]$，切换点为 $t = x^2$：
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+- 当 $0 \le t \le x^2$ 时：$\min(t, x^2) = t$，故 $y \in [t^2, t]$
+- 当 $x^2 \le t \le x$ 时：$\min(t, x^2) = x^2$，故 $y \in [t^2, x^2]$
+
+积分拆为两段：
+$$\int_0^{x^2} dt \int_{t^2}^t f\,dy + \int_{x^2}^x dt \int_{t^2}^{x^2} f\,dy$$
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+---
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+### 要点 04 - 内层积分时外层变量视为常数
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+计算累次积分 $\displaystyle\int dt \int g(y, t)\,dy$ 时：
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+- 先对 $y$ 积分，此时 $t$ 视为**常数**
+- 原函数中的 $t$（来自被积函数或换元）**不参与代入上下限**
+- 只有含 $y$ 的部分受上下限影响
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+**❌ 常见错误**：$\displaystyle\int_{t^2}^t t \cdot h(y,t)\,dy$ 代入时把系数 $t$ 也随 $y$ 限代值，写成 $t \cdot h(t,t) - t^2 \cdot h(t^2,t)$ 之类。
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+**✅ 正确做法**：系数 $t$ 提出积分号或保持不动：
+$$\int_{t^2}^t t \cdot h(y,t)\,dy = t \int_{t^2}^t h(y,t)\,dy$$
+
+---
+
+### 要点 05 - 二重积分的变量代换
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+对 $\displaystyle\iint_D f(y,t)\,dy\,dt$，作代换 $(y,t) \to (u,v)$：
+
+$$
+\iint_D f(y,t)\,dy\,dt = \iint_{D'} f\big(y(u,v), t(u,v)\big) \cdot |J| \, du\,dv
+$$
+
+其中 Jacobi 行列式 $J = \dfrac{\partial(y,t)}{\partial(u,v)}$。
+
+**常用代换**：
+- 极坐标：$y = r\cos\theta,\; t = r\sin\theta$，$|J| = r$
+- 线性代换：$u = ay + bt,\; v = cy + dt$，$|J| = |ad - bc|^{-1}$
+
+---
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+### 知识点
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+- 二重积分交换次序：画出区域 → 反解不等式 → 写出新积分限
+- $\min/\max$ 型边界需分段处理
+- 累次积分中，内层积分时外层变量为常数，不可随内层限代值
+- 变量代换的 Jacobi 行列式
+- 极坐标变换：$dx\,dy \to r\,dr\,d\theta$